Matemáticas aplicadas a juegos

Fórmulas

1. Distancia Euclidiana

La distancia entre dos puntos $(x_1, y_1)$ y $(x_2, y_2)$ está dada por: $$ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} $$ Donde: - $ x_1, y_1 $ representan la posición del primer punto. - $ x_2, y_2 $ representan la posición del segundo punto.

Ejemplo: Si un enemigo está en $(3,4)$ y el jugador en $(6,8)$, la distancia entre ellos es: $$ d = \sqrt{(6 - 3)^2 + (8 - 4)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 $$

2. Normalización de Vectores

Para normalizar un vector $(dx, dy)$: $$ \text{longitud} = \sqrt{dx^2 + dy^2} $$ $$ dx' = \frac{dx}{\text{longitud}}, \quad dy' = \frac{dy}{\text{longitud}} $$ Donde: - $ dx, dy $ son las componentes del vector original. - $ dx', dy' $ son las componentes del vector normalizado.

Ejemplo: Si un enemigo se mueve con un vector $(3, 4)$, su normalización es: $$ \text{longitud} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 $$ $$ dx' = \frac{3}{5} = 0.6, \quad dy' = \frac{4}{5} = 0.8 $$

3. Dirección de Disparo

Dado un enemigo en $(x_e, y_e)$ y el jugador en $(x_p, y_p)$, la dirección normalizada del disparo es: $$ dx = x_p - x_e, \quad dy = y_p - y_e $$ $$ \text{longitud} = \sqrt{dx^2 + dy^2} $$ $$ dx' = \frac{dx}{\text{longitud}}, \quad dy' = \frac{dy}{\text{longitud}} $$

Ejemplo: Si un enemigo está en $(2,3)$ y el jugador en $(5,7)$, entonces: $$ dx = 5 - 2 = 3, \quad dy = 7 - 3 = 4 $$ $$ \text{longitud} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 $$ $$ dx' = 0.6, \quad dy' = 0.8 $$

4. Disparo en Ondas (Ángulos en Circunferencia)

Para generar disparos en todas direcciones alrededor de un objeto: $$ \theta_i = \frac{2\pi i}{N} $$ Donde $N$ es el número total de disparos en la onda.

Ejemplo: Si se generan 8 disparos, los ángulos serán: $$ \theta_0 = 0, \quad \theta_1 = \frac{2\pi}{8}, \quad \theta_2 = \frac{4\pi}{8}, \quad ... $$

5. Separación entre Enemigos

Si dos enemigos están demasiado cerca, se repelen: $$ \Delta x = x_1 - x_2, \quad \Delta y = y_1 - y_2 $$ $$ d = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2} $$ Si $ d < d_{\text{min}} $, se aplica una fuerza de separación: $$ \Delta x' = \frac{\Delta x}{d} \cdot F_{\text{separación}}, \quad \Delta y' = \frac{\Delta y}{d} \cdot F_{\text{separación}} $$

Ejemplo: Si dos enemigos están en $(4,4)$ y $(5,6)$, su distancia es: $$ d = \sqrt{(5-4)^2 + (6-4)^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5} $$ Si esta distancia es menor que el mínimo permitido, se aplica una fuerza de separación.

6. Persecución del Jugador por Enemigos

Si el jugador está dentro del rango de visión $R$, la fuerza de atracción hacia él es: $$ F_x = \frac{x_p - x_e}{d} \cdot F_{\text{persecución}}, \quad F_y = \frac{y_p - y_e}{d} \cdot F_{\text{persecución}} $$

Ejemplo: Si $ F_{\text{persecución}} = 2 $ y el enemigo está en $(1,1)$ mientras que el jugador en $(4,5)$, entonces: $$ d = \sqrt{(4-1)^2 + (5-1)^2} = 5 $$ $$ F_x = \frac{3}{5} \times 2 = 1.2, \quad F_y = \frac{4}{5} \times 2 = 1.6 $$

7. Colisión con Paredes

Para encontrar el punto más cercano de una pared al jugador: $$ x_c = \max(x_{\text{pared}}, \min(x_p, x_{\text{pared}} + w_{\text{pared}})) $$ $$ y_c = \max(y_{\text{pared}}, \min(y_p, y_{\text{pared}} + h_{\text{pared}})) $$

8. Sistema de Puntuación y Multiplicador

El puntaje aumenta en función del multiplicador activo: $$ \text{puntuación} += 1 \times M $$ Donde $ M $ es el multiplicador de puntaje, que temporalmente se duplica al recolectar ciertas frutas: $$ M = 2, \quad \text{durante } T \text{ segundos} $$